1 - Escopo e Objetivos

Aqui você encontra a síntese do suporte teórico do artigo publicado na conjur por Aury Lopes Jr e Alexandre Morais da Rosa [aqui].

A abordagem procura explicar, de forma concisa, a teoria do voto no contexto das eleições. Discorre-se um pouco sobre a teoria por detrás dos cálculos, restrita aos termos técnicos, com o risco associado da simplificação, mas compatível ao escopo.

Os matemáticos calculam a chance de um voto decidir a eleição: em uma cidade pequena, a conta indica cerca de 1,2%, ou 1 chance em 80; na eleição presidencial americana, a estimativa é de 1 em 10 milhões. A chance de um único voto decidir diminui à medida que o eleitorado cresce. Nenhum eleitor sabe, antes da contagem, se o próprio voto será o da diferença. O resultado, porém, é a soma de todos os votos, e a retirada de um voto de quem venceu por um voto resulta em empate. Eleição com resultado conhecido antes da contagem deixa de ser eleição. A participação dos eleitores mantém a democracia em funcionamento.

2 - Penrose e Banzhaf: a conta do voto decisivo

A matemática trata do problema com a pergunta de Penrose: qual é a probabilidade de um voto alterar o resultado se os demais eleitores votarem ao acaso? Penrose formulou a medida em 1946, e Banzhaf chegou à mesma análise de forma independente em 1965 (aqui). Sob maioria simples, com número ímpar de votantes e chance de 1/2 para cada lado, o poder de um eleitor decresce na proporção de 1/√N, a lei da raiz quadrada de Penrose (aqui). A chance de decidir cai com a raiz do eleitorado, não com o eleitorado inteiro.

O teste de Penrose-Banzhaf segue 4 operações sequenciais:

Aplicada a Olho d'Água do Borges, com 4.355 votos válidos, a conta indica uma probabilidade de 1,2% de empate entre os demais eleitores. O cálculo é da coluna e usa o modelo binomial: o coeficiente binomial de 4.354 votos, com 2.177 a 2.177, dividido por 2 elevado a 4.354, resulta em 0,0121. Na eleição presidencial americana, a ordem de grandeza muda. Gelman, King e Boscardin estimaram cerca de 1 em 10 milhões para eleições nacionais próximas, como a de 1992, com variação de cerca de dez vezes entre os estados. Gelman, Silver e Edlin calcularam, para 2008, uma média nacional de 1 em 60 milhões e, no Novo México, na Virgínia, em New Hampshire e no Colorado, de 1 em 10 milhões. O eleitor de um município pequeno tem chances mais de cem mil vezes maiores do que o eleitor americano de um Estado decisivo. O tamanho do eleitorado explica a diferença.

Os modelos têm limite. Mulligan e Hunter, com dados de eleições legislativas dos Estados Unidos, encontraram que 1 em cada 100.000 votos federais e 1 em cada 15.000 votos estaduais foram dados a candidatos que empataram ou venceram por um voto, e que eleições muito apertadas são mais raras do que o modelo binomial independente prevê. Recontagens e outros procedimentos de margem influenciam a frequência. A hipótese de votos independentes e equiprováveis também falha quando os votos se correlacionam, conforme Kaniovski. O 1,2% de Olho d'Água do Borges, portanto, serve como referência teórica, não como frequência observada.

3 - Downs, Riker e Ordeshook: custo, benefício e dever

Downs formulou o cálculo do voto como “R = PB – C”: “P” é a probabilidade de o voto decidir, “B” o benefício da vitória do candidato preferido e “C” o custo de votar. Com “P” minúsculo, a conta prevê abstenção. Riker e Ordeshook acrescentaram, em 1968, o termo “D”, que reúne o dever cívico, satisfação de votar e afirmação partidária, e a desigualdade passou a ser “PB + D > C” (aqui). Ferejohn e Fiorina propuseram, em 1974, outro critério, o do arrependimento minimax, que especifica o voto sob condições gerais e dispensa a estimativa de probabilidades. Mayer e Good questionaram a aplicabilidade do critério em 1975. A divergência incide sobre o critério de decisão, não sobre o valor reduzido de “P”.

A literatura citada trata de eleições americanas. No Brasil, acrescenta-se ao cálculo a obrigatoriedade do voto. A CR, artigo 14, § 1º, I, estabelece que o alistamento eleitoral e o voto são “obrigatórios para os maiores de dezoito anos”. O termo “C”, no Brasil, opera sob a regra constitucional.

4 - Edlin, Gelman e Kaplan: o benefício é de todos

Edlin, Gelman e Kaplan retiraram a premissa do interesse próprio. Para o eleitor com preferências sociais, a utilidade esperada de votar varia pouco com o tamanho do eleitorado: a probabilidade de decidir diminui, e o benefício social da escolha do melhor candidato cresce na mesma proporção (aqui). Um mecanismo de retroalimentação estabiliza a participação, pois a abstenção aumenta a probabilidade de decidir. Uma resenha crítica aponta o limite: o eleitor que se importa apenas com o município, a família ou o estado (eleitor proxêmico) não vê o benefício crescer o suficiente para compensar a queda de “P”. A objeção perde força na eleição municipal porque o benefício e o eleitorado são locais e o “P” é maior.

5 - Condorcet: o voto como informação

Condorcet demonstrou, em 1785, que a probabilidade de a maioria acertar tende a 1 quando cada votante tem competência superior a 0,5, os votos são independentes e há duas alternativas (aqui) Dietrich e Spiekermann criticam as premissas: a independência e a competência entram em tensão, a conclusão de que grupos enormes são infalíveis decorre de premissas sem justificativa, e a conclusão de que grupos maiores são mais confiáveis permanece adequada. A teoria sustenta o valor de cada votante como fonte de informação. A margem de um voto mostra que os eleitorados de Indaial e de Olho d'Água do Borges ficaram divididos quase ao meio.

6 - Em Síntese

A tabela compara as abordagens teóricas:

[a] O que é. Voto Decisivo é o voto que determina o vencedor da eleição por maioria simples quando os demais votos se dividem igualmente entre os dois candidatos. Penrose formulou a medida da probabilidade do evento em 1946. Banzhaf chegou à mesma conclusão em 1965. A condição de Voto Decisivo se confirma após a contagem.

[b] Para que serve. O Voto Decisivo serve de base para medir a influência de cada eleitor no resultado e para discutir o comparecimento às urnas. O cálculo de Downs utiliza a probabilidade de Voto Decisivo para prever a abstenção. Os termos de Riker e Ordeshook, de Edlin, Gelman e Kaplan e de Condorcet respondem à previsão com razões para votar.

[c] Como funciona. A probabilidade de Voto Decisivo é dada pelo coeficiente binomial dividido por 2 elevado ao número de votos restantes. A probabilidade decresce na proporção de 1/√N. O eleitorado de Olho d'Água do Borges, com 4.355 votos válidos, tem probabilidade de 0,0121. As eleições nacionais nos Estados Unidos têm uma probabilidade estimada de cerca de 1 em 10 milhões.

[d] Como se aplica. O raciocínio que conclui pela irrelevância do voto individual considera apenas o termo "P" da fórmula de Downs. O raciocínio omite o termo "D" de Riker e Ordeshook, o benefício social de Edlin, Gelman e Kaplan e a soma dos votos que produz a margem. Em Olho d'Água do Borges, a margem de um voto resultou de 4.355 decisões individuais.

Em potencial, todo e qualquer eleitor pode fazer a diferença nas eleições.

7 - Glossário do Verbete

Benefício Social. Ganho que o eleitor atribui à vitória do candidato preferido para o conjunto de eleitores.

Coeficiente Binomial. Número de maneiras de escolher k elementos entre n elementos; no modelo de Penrose, número de divisões em partes iguais dos N − 1 votos restantes.

Custo de Votar. Gasto de tempo e esforço do eleitor para comparecer e votar; termo C da fórmula de Downs.

Dever Cívico. Obrigação que o eleitor reconhece a si de votar; integra o termo D de Riker e Ordeshook com a satisfação de votar e a afirmação partidária.

Empate. Igualdade do número de votos dos dois candidatos.

Maioria Simples. Regra pela qual vence o candidato com mais votos do que o outro, sem percentual mínimo.

Margem. Diferença de votos entre o vencedor e o segundo colocado.

Modelo Binomial. Modelo que trata cada voto como uma escolha independente entre dois candidatos, com probabilidade fixa para cada um.

Preferência Social. Preferência do eleitor que inclui o bem-estar dos demais eleitores no benefício do voto.

Probabilidade de Voto Decisivo. Chance de os demais votos se dividirem em partes iguais, de modo que o voto examinado desempate; termo P da fórmula de Downs.

Utilidade Esperada. Valor médio do ganho do eleitor, obtido pela soma do produto da probabilidade de cada resultado pelo respectivo ganho.

Voto Válido. Voto dado a um candidato, sem contagem de votos em branco nem de votos nulos.

Votos Independentes. Votos em que a escolha de um eleitor não depende da escolha de outro; premissa do modelo de Penrose e do teorema de Condorcet.

8 - Referências Bibliográficas

BANZHAF, John F. Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis. Rutgers Law Review, v. 19, p. 317-343, 1965.

BRASIL. Constituição [1988]. Constituição da República Federativa do Brasil. Brasília, DF: Presidência da República, 1988. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 01/10/2026.

BRASIL. Lei nº 4.737, de 15 de julho de 1965. Institui o Código Eleitoral. Brasília, DF: Presidência da República, 1965. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l4737compilado.htm. Acesso em: 01/10/2026.

CONDORCET, Marquis de. Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris: Imprimerie Royale, 1785.

DOWNS, Anthony. An economic theory of democracy. New York: Harper & Row, 1957.

EDLIN, Aaron; GELMAN, Andrew; KAPLAN, Noah. Voting as a rational choice: why and how people vote to improve the well-being of others. Rationality and Society, v. 19, n. 3, p. 293-314, 2007. Disponível em: https://www.nber.org/papers/w13562. Acesso em: 01/10/2026.

FOLHA VITÓRIA. Prefeito é eleito em Olho d'Água do Borges, RN, com 1 voto de diferença. Vitória, 06/10/2024. Disponível em: https://www.folhavitoria.com.br/politica/prefeito-e-eleito-em-olho-dagua-do-borges-rn-com-1-voto-de-diferenca-viral/. Acesso em: 01/10/2026.

GELMAN, Andrew; KING, Gary; BOSCARDIN, W. John. Estimating the probability of events that have never occurred: when is your vote decisive? Journal of the American Statistical Association, v. 93, n. 441, p. 1-9, 1998. Disponível em: https://doi.org/10.1080/01621459.1998.10474082. Acesso em: 01/10/2026.

O POVO. Eleições 2024: o que acontece em caso de empate numérico? Fortaleza, 27/10/2024. Disponível em: https://www.opovo.com.br/noticias/politica/eleicoes/2024/10/27/eleicoes-2024-o-que-acontece-em-caso-de-empate-numerico.html. Acesso em: 01/10/2026.

PENROSE, L. S. The elementary statistics of majority voting. Journal of the Royal Statistical Society, v. 109, n. 1, p. 53-57, 1946.

RIKER, William H.; ORDESHOOK, Peter C. A theory of the calculus of voting. American Political Science Review, v. 62, n. 1, p. 25-42, 1968.

TRIBUNAL SUPERIOR ELEITORAL. Empate na votação. Temas Selecionados. Brasília, DF: TSE, [s.d.]. Disponível em: https://temasselecionados.tse.jus.br/temas-selecionados/apuracao-de-votos-e-eleicoes-extraordinarias/eleicao-majoritaria/empate-na-votacao. Acesso em: 01/10/2026.